(Grupo “Cálculo Mental, Cálculo Pensado”)
Se hace una ligera revisión de la importancia del dominio del “buen orden” del conjunto de los números naturales, y de disponer de una representación interior conforme. Mostrándose un itinerario de iniciación al concepto de suma y técnicas elementales para la construcción de “los hechos numéricos básicos”, iniciándose al cálculo mental.
Introducción
Sumando, en cálculo mental y en cálculo pensado. Cálculo exacto, por el momento. Una de las tres cualidades que exigimos al cálculo mental: la exactitud, la rapidez y la seguridad. Las dos primeras son objetivables, medibles; la seguridad, subjetiva.
El conjunto “bien ordenado” de los números naturales
Antes de hablar de la adicción -o suma: los nombres me dan igual-, un punto previo y básico, que es el dominio del conjunto numérico de los números naturales. En dos aspectos
Uno, el orden, el “buen orden” de los números naturales. Es decir: cuando tengamos dos números, saber cuál es el menor y cuál el mayor. Y si nos dan un tercero, saber situarlo entre ellos o antes del primero o después del segundo. Es decir, el buen orden, dominar el buen orden. Que va a ser básico para las operaciones elementales, los hechos básicos de la operación; en este caso de la suma.
Representación interior
Y el segundo aspecto es que para esta colección de los números naturales debemos tener una representación interior. Una representación interior que estará muy posiblemente ligada al material con que se ha iniciado el conocimiento y práctica con los números.
Esa representación puede ser lineal, como es la tiranumérica. En diversos lugares he comentado cómo mi iniciación numérica fue gracias a la cinta métrica que utilizaba mi madre para la costura. Creo que aprendí la escritura numérica antes que la lectura y escritura de la lengua hablada.
O puede ser en dos dimensiones, como es la tabla con diez elementos por línea. Ascendente o descendente de abajo a arriba o de arriba abajo. También puede ser en espiral. La representación numérica en el calendario, útil para conocer los primeros números. Aunque tiene muy pocas posibilidades después, para la aplicación operativa. Los elementos de esa representación no tienen por qué ser la escritura decimal simbólica. Pueden ser imágenes que guarden relación con cada uno de los números.
Partición en decenas
He hablado de la importancia del orden. Es ya una operación, de cálculo, en alguna forma.
“¿Cuál es el menor?… ¿Cuál es el mayor?… ¿Cuáles están entre medias?…”
Se deriva de ahí el análisis de las decenas: la segmentación del conjunto de los números naturales en decenas. Con consecuencias en la expresión. En la expresión oral, y en la expresión escrita; sea del habla o de la representación simbólica en escritura decimal.
Hay un elemento que se va a repetir en una misma decena. Para que no me pillen en falta, voy a tomar la veintena. Cuando digo “veinte, veintiuno, veintidós, veintitrés, etc., veintinueve”, hay un elemento que se repite: el “veinte”; y el otro variable. Y cuando voy pasando de decena en decena: “dieciséis, veintiséis, treinta y seis…” ocurre algo semejante, pero con la otra parte del número correspondiente. Se mantiene el “seis”, mientras que el otro indicador es cambiante: el de las “decenas”. Hay premanencia o repetición dentro de cada decena, como al saltar de decena en decena, en el otro elemento del término. Esto va a ser muy importante después, en el cálculo mental de operaciones, al partir de datos del habla oral o de la escritura simbólica.
Y luego, por otra parte, también tiene reprepercusión en la representación interior. Mientras que en una “cinta numérica” es continua, lineal, en una escalera iríamos dando saltos iguales, ascententes o descendentes, de diez en diez, de decena en decena. Si estamos con una “cinta métrica”, se puede pasar de un aspecto lineal estricto, en línea recta, a “irse doblando por las decenas”, zig-zag. Es decir: pasando de la “cinta métrica” al “metro de carpintero”.
Definición de “suma”
Pasando ya a la operación de sumar, adicción o suma, es importante tener muy claro el concepto de la operación. Porque no vamos a trabajar con elementos abstractos: no se trata de un juego simbólico, simplemente. Se trata de una aplicación práctica, una resolución de problemas, en alguna forma. Y de ahí la representación interior, la importancia que puede y debe tener.
Sumar es juntar, reunir, añadir. Todos estos son términos que corresponden a acciones reales, necesarias con las actividades manipulativas para introducir la operación de sumar. Y que de forma automática, involuntaria, tienen un reflejo en la representación interior.
Primeros resultados
Un primer grupo de estrategias para la suma lo constituyen los conteos o recuentos.
En primer lugar, el “recuento total”. Si tengo que hacer la suma “cinco más siete”, hago el conteo completo: “uno, dos, tres, cuatro, cinco pasos…”, primero. Y luego ya siguiendo lo que me diga el segundo término: “seis, siete, ocho, nueve…, siete pasos…, doce”. El resultado es muy importante subrayarlo y tenerlo enmarcado: “cinco más siete, doce”. Se trata de un “resultado básico”, elemental. Los “hechos numéricos básicos de la suma”: que deberán ser aprehendidos a fuerza de práctica y poder ser recordados, evocados de forma automática. Construidos, fijados y evocados de forma mecánica.
Estrategias de conteo más elaboradas.
Recuento parcial o conteo parcial partiendo del primero de los términos que se nos ofrecen: “Cinco más siete: cinco, seis, siete, ocho, etcétera, siete pasos, doce; cinco más siete, doce”. He ahorrado tiempo y esfuerzo. Parto del primero de los términos. Del primero de los términos presentados.
Pero llego así a otra estrategia de conteo aún más elaborada: elegir de los dos términos el que va a ser el punto de partida. En concreto muy pronto se comprueba, se concluye, que es el mayor de los dos. En este caso, “cinco más siete”, empiezo por siete: “ocho, nueve, diez…, cinco pasos, doce; cinco más siete -lo mismo que siete más cinco- es doce”.
Propiedad conmutativa
Unos pocos ejemplos nos van conduciendo a la conclusión de que “no importa el orden en que se realice la suma”, que “es lo mismo “cinco más siete que siete más cinco; cuatro más ocho que ocho más cuatro; ocho más seis que seis más ocho”. Lo que se va a llamar “propiedad conmutativa de la suma”. No me importan los nombres: lo importante es aplicar la propiedad, eligiendo el orden en la forma que más nos convenga. En estos casos elementales normalmente va a ser tomar como primero de los sumandos el mayor.
En conclusión, la “construcción de los hechos numéricos” se reduce a la mitad. Construir la mitad. En el caso de “la tabla”: la parte inferior izquierda. Es decir: allí donde el primer sumando es mayor que el segundo.
La estrategia de permutar el orden de los sumandos -sí conviene- va a ser la primera gran estrategia para la adicción de números de cualquier tamaño.
La tabla de sumar
Colección de “hechos numéricos básicos” o “tabla de sumar”, en este caso. Debe ser aprehendida y poder utilizarla, aplicarla de forma automática, inmediata. No es cuestión “primero aprenderla y luego aplicarla”. Sino construirla, fijarla y poder aplicarla automáticamente: “cinco más siete, doce”; “cuatro más ocho, doce”; “ocho más seis, catorce”. De forma automática, inmediata. Puede y debe construirse a partir de operaciones manipulativas.
Sumando decenas
Gracias a la “propiedad conmutativa” y a la “ordenación segmentada por decenas de los números naturales”, estamos en condiciones de dar un salto muy importante: las sumas con uno de sus términos superiores a la decena. Es decir: cuando se trata de sumas del tipo, “dieciséis más cinco…, dieciséis, diecisiete, dieciocho, diecinueve…, veintiuno, cinco pasos; dieciséis más cinco, veintiuno”. ¿Y “veintiséis más cinco”?… “Veintiséis, veintisiete…, cinco pasos, treinta y uno”. ¿“Cuarenta y seis más cinco…?”. ¿Y “cinco más setenta y seis?…”
Y tenemos también, y conviene practicar las sumas de decenas. “Veinte más treinta” Son “dos decenas más tres decenas…, dos más tres…, cinco, cinco decenas, cincuenta. Veinte más treinta, cincuenta.” ¿Y “cuarenta más cincuenta”?…: “cuatro más cinco decenas…, nueve decenas, noventa; cuarenta, más cincuenta, noventa.”
Ni siquiera es necesario representar interiormente la escritura simbólica. Aunque en algún momento puede ser interesante subrayarla, escribiéndola.
Y también cuando pasamos de la centena: “cincuenta más setenta…: cinco más siete…” ¡ja!: “Doce; ciento veinte. Si queremos pasar a la suma de cantidades superiores a la decena…, es decir: números de dos o más cifras…, debemos dar un paso más, en el grupo “estrategias por descomposición”. Que va a ser útil para sumas cualesquiera de números naturales. Pero esto lo dejamos para otro momento.