SUMANDO, EN CÁLCULO MENTAL Y PENSADO (PARTE II)
(Grupo “Cálculo Mental, Cálculo Pensado”)
Se presentan estrategias para la suma que facilitan las operaciones con cantidades superiores a la decena, la centena y mayores aún. Finalmente se generaliza el cálculo Mental y Pensado de sumas con naturales a otros dominios numéricos.
Introducción
Aquí ya se va a empezar a ver, al tener que sumar cantidades suficientemente grandes, cómo va a ser necesario el análisis de la situación, considerar estrategias posibles para resolverrla, elegir la estrategia que se considera “la mejor”, aplicarla… Es decir, va a ser verdadero cálculo pensado. Que se va poder a automatizar más o menos, pero no completamente.
Propiedad asociativa de la suma
Hay otra propiedad fundamental de la adición de naturales, estructurante, que en cálculo mental se aplica de forma mecánica, yo diría “no consciente”, que no hay consciencia de que se está aplicando.
En el cálculo mental y Pensado solamente se suman dos cantidades. Por tanto, si tenemos que sumar tres, cuatro o más cantidades, empezamos por sumar las dos primeras y el resultado lo sumamos con la siguiente, el resultado de esta suma con la siguiente…, y así sucesivamente.
Sin embargo, gracias a la “propiedad asociativa” de la que goza la suma de naturales, podemos “alterar” esa forma de hacer las cosas: y empezar sumando no los dos primeros términos, sino, por ejemplo, el 2º con el 3º, y este resultado con el 1º o con el 4º, etc., según convenga; de forma razonada.
Un ejemplo muy sencillo.
si tenemos que sumar “ocho más dieciséis más cuatro”, suele ser lo más ordinario: “ocho más dieciséis, veinticuatro; más cuatro, veintiocho”.
Ahora bien, un análisis muy sencillo e inmediato de la situación, nos dice que “dieciséis más cuatro nos lleva a la decena: veinte”. Y entonces es preferible empezar por esa suma aplicando la “propiedad asociativa”: “dieciséis más cuatro, veinte; ocho más veinte, veintiocho”. O “veinte más 8”, si queremos aplicar la “propiedad conmutativa”.
Lo considero mucho más rápido y seguro.
Apuntemos, pues, la “propiedad asociativa” como una técnica ventajosa en determinada situaciones. Concretamente: cuando haya que calcular sumas de cantidades heterogéneas, de tamaño muy variado.
Y también como “una ampliación de la propiedad conmutativa de la suma”.
Descomposición aditiva descendente
Empecemos por las estrategias por descomposición. Estrategias aditivas, en primer lugar.
Descomposición de los números-dato.
Estamos ya más allá de las sumas elementales, de los “hechos numéricos básicos”. Queremos operar números superiores a la decena. Es decir: con escritura simbólica decimal de dos cifras.
Y empezamos con un ejemplo sencillo: “veinticinco más cuarenta y seis”.
Aplico primeramente la estrategia de la permuta: primero el mayor. “Cuarenta y seis más veinticinco”.
Y voy a aplicar mi estrategia favorita: “la descomposición del segundo sumando por órdenes de unidades”: cuarenta y seis más veinte y cinco”.
“Cuarenta y seis más veinte, sesenta y seis; más cinco, setenta y uno”.
Por eso hacía hincapié en la suma de decenas.
La propia verbalización me hace la descomposición: “veinte, y, cinco, cuarenta, y, seis”.
Ocurre así en las lenguas romances. No sé cómo se hará este cálculo en el caso de las lenguas germánicas, ya que allí he denunciado es inverso: primero Unidades y luego decenas: “Cinco y veinte, seis y cuarenta”, sería en Alemán, en Holandés o flamenco.
Doble descomposición aditiva desdendente
Puedo saltar inmediatamente a tres cifras. Es decir: más allá de la centena.
“Ciento veintiocho más sesenta y siete: ciento veintiocho más sesenta, y, siete”.
Guardo el siete en memoria.
“Ciento veinte.
El ocho lo guardo en memoria, también.
“más sesenta, ciento ochenta.
Y “ocho y siete”, recuperados de memoria: “ciento ochenta y ocho más siete, ciento noventa y cinco”.
Y puedo llegar mucho más allá:
“Mil cuatrocientos noventa y dos, más setecientos cincuenta y tres”.
Siguiendo con la estrategia favorita que he anunciado: “Setecientos, cincuenta, y, tres”.
“Mil cuatrocientos noventa y dos. El “noventa y dos” lo aparto de momento.
“Mil cuatrocientos más setecientos, dos mil cien.”
Recupero “noventa y cincuenta: ciento cuarenta. Dos mil cien, más ciento cuarenta, dos mil doscientos cuarenta”.
Y ya solo me queda “dos más tres, cinco: Dos mil doscientos cuarenta y cinco”.
Tampoco ha sido tan complicado, ¿No?
De hecho, estoy haciendo una descomposición por órdenes de unidades en forma descendente de ambos sumandos. Esto da lugar de alguna forma a la técnica o algoritmo para la adición que se utilizó desde que en el siglo once se introduce en occidente la escritura decimal, hasta que hace tres siglos Euler nos presenta los algoritmos comprimidos o reducidos que se utilizan actualmente en España.
Por ejemplo en algunos países se sigue utilizando el sistema llamado “de celosía”, creo recordar.
Se descompone por órdenes de unidades, empezando por la izquierda, por los superiores:
“Mil, cuatrocientos, noventa, dos.”
Y debajo
“setecientos, cincuenta, tres.”
“Mil” no tiene correlato en segundo su mando.
“Cuatrocientos y setecientos, mil cien.”
¡Ojo!: aquí va a aparecer lo que sería “la llevada en uno”.
“Noventa más cincuenta, ciento cuarenta”. aquí aparecería otra “llevada”.
“Dos más tres cinco.”
Y ya se hace la suma definitiva por órdenes de unidades también de izquierda a derecha.
No escribir
Si lo hiciéramos de derecha a izquierda sería semejante, pero en escalera, a lo que es el algoritmo ordinario de la suma que utilizamos en España. Pero estamos hablando de Cálculo Mental, de Cálculo Pensado, por consiguiente nos olvidamos de la escritura. No es necesaria,
es más: es recomendable no pasar en ningún caso a la escritura simbólica. No solamente pensando en los analfabetos, en las personas analfabetas que no saben leer ni escribir cantidades. Sino en general porque estamos trabajando con Cálculo Pensado.
Distinto sería en la Didáctica para personas sordas, donde haría falta una descripción. Posiblemente escrita de la estrategia de cálculo que se está utilizando.
Como ya he dicho, la adición por descomposición de órdenes de unidades de forma ascendente sería reproducción del algoritmo escrito incluso lo único que se hace es una representación mental de este algoritmo que no tiene ningún interés como Cálculo Mental o Cálculo Pensado.
Por docenas
Pero hay otras descomposiciones aditivas, que en algunos ambientes comerciales o industriales se utilizan bastante todavía: las docenas,
Por ejemplo: si quiero sumar “catorce más treinta y siete”, en realidad el “catorce” lo que tengo es “una docena y dos”. Y “treinta y siete” serían “tres docenas y uno: doce más doce más doce más uno”.
Por consiguiente: “catorce más treinta y siete” sería “una docena y dos más tres docenas y uno: cuatro docenas y dos y uno”.
“Cuatro docenas”, que mi tabla de docenas es “cuarenta y ocho; y tres, cincuenta y uno”.
Descomposiciones sustractivas
Otro grupo de estrategias, muy útil en este caso, son las de “descomposición aditivo-sustractiva”.
Sería aquella en la que uno de los sumandos o ambos se sustituyen por una diferencia, una sustracción.
Muy útil sobre todo cuando ese sumando esté próximo a la decena superior.
Por ejemplo: “diecisiete más nueve”, es lo mismo que “diecisiete más diez menos uno”. “Diecisiete más diez, veintisiete; menos uno, veintiséis”.
Y el anterior “mil cuatrocientos noventa y dos, más setecientos cincuenta y tres” de que veníamos hablando. Como “mil cuatrocientos noventa está muy próximo a “mil quinientos”, pido “ocho prestados” para completarlo y me quedaría
“mil quinientos más setecientos, dos mil doscientos; cincuenta y tres”. Pero ¡ojo!: tengo que devolver “los ocho que pedí prestados”.
“Dos mil doscientos cincuenta y tres; cincuenta y tres, menos ocho, cuarenta y cinco: dos mil doscientos cuarenta y cinco”.
Se elige la estrategia más conveniente, la situación en la que se tenga más confianza, más seguridad. No se trata de aplicar necesariamente una estrategia, sino la que más convenga al sujeto, la preferida por el sujeto.
Representaciones interiores
Es muy frecuente -por no decir que “siempre”- tener una representación interior, del tipo que sea.
Puede ser simbólica, desordenada, caótica. Como puede haber ocurrido en esta última de “mil cuatrocientos noventa y dos más setecientos cincuenta y tres”. Pero en cualquier caso hace falta un soporte de representación interior para realizar los cálculos. Aunque por lo general es espontáneo, casi inmediato, automático.
Con números enteros
Pero la suma no se restringe exclusivamente a la adición de números naturales. También se pueden sumar en Cálculo Mental o Pensado los números enteros. En dos casos.
Si los números, ambos, son positivos, se reduce a suma de números naturales.
Y si ambos son negativos, sabemos que el resultado va a ser otro número negativo: se realiza la suma con los valores absolutos de esos números.
En el caso de que sean de signo distinto es preferible acudir a la sustracción, a las restas.
Con números con coma
Mi recomendación es sumar primero las partes enteras. Y ya tendremos una aproximación.
Y luego las partes decimales, como si fueran números naturales. Reduciendo, si es necesario, las unidades de orden superior que resulten, que serían unidades enteras, añadirlas al resultado de las unidades que hemos calculado antes.
Para sumar “tres con treinta y cinco centésimas con cuatro con setenta y cinco centésimas”, Primero sumo los enteros: “tres más cuatro, siete unidades”.
Después “treinta y cinco y setenta y cinco”. Que inmediatamente tengo: “ciento diez”. Ese “cien” es una unidad de orden superior, es decir, una unidad entera, por tanto: tenía “siete” guardados en memoria, “y uno, ocho; ocho con diez centésimas”.
Con fracciones
Para la suma de números fraccionarios, fracciones enteras, no aconsejaría el elegante procedimiento de calcular el “mínimo común denominador”, como suele hacerse ordinariamente en el cálculo escrito. Sino el camino más ordinario, más basto, más bruto de multiplicar los denominadores.
Por ejemplo, si quiero calcular “tres cuartos más cinco sextos”, multiplico los denominadores: “cuatro por seis veinticuatro”. Va a ser el denominador del resultado.
Y ahora como solo puedo sumar cosas homogéneas, es decir, “veinticuatroavos”, el numerador de la primera fracción, el tres, lo multiplico por seis, igual que multipliqué su denominador cuatro: “dieciocho”. “Tres por seis, dieciocho.”
Y para la segunda fracción, el numerador cinco, lo multiplico por cuatro, igual que multipliqué el denominador seis por cuatro: “cinco por cuatro, veinte”.
“Tres por seis, dieciocho, más cuatro por cinco, veinte; veinte más dieciocho, treinta y ocho veinticuatroavos”.
Si quiero, podría simplificar, pero esto ya es cosa de la división.
Práctica con juegos
Las prácticas y juegos sobre la suma lo dejo para más adelante cuando hayamos visto las restas o sustracciones, ya que son prácticamente paralelas, simétricas.