RESTANDO, CON CÁLCULO MENTAL Y PENSADO
Grupo “Cálculo Mental, Cálculo Pensado”
Restar: Definición
En primer lugar, tener muy claro el concepto de la operación. De forma física, con material manipulativo. Puede ser los dedos sobre la mesa o piezas sueltas. O sobre cinta métrica, sobre el metro del carpintero, o la tira numérica.
Pero, de forma clara, adquirir el concepto de “¿Cuánto es diez menos seis?” O bien: “¿Cuánto le falta a seis para llegar a diez?” “¿Cuánto hay que poner a seis para tener diez?” “Si a diez le quitamos seis, ¿Cuántos quedan?” “¿Cuál es la diferencia entre dieciséis?” “¿Cuánto hay desde seis hasta diez?” Son todas expresiones verbales del mismo concepto, que conviene tener interiorizadas como equivalentes.
Vocabulario
Estamos hablando de operaciones con números naturales. Por lo que no me interesan los nombres -vamos a decir- “técnicos”: “minuendo”, “sustraendo”, “sustracción”, etcétera. Me basta con “el mayor” y “el menor”; y “restar”, “quitar”, “cuánto falta”, “cuánto queda”, “¿cuál es la diferencia?”…, Que son las palabras, los términos que se utilizan en la vida corriente: no los otros, que quedan reservados a la escuela y luego no tienen ninguna utilidad.
Restas elementales
y con la forma manipulativa ir construyendo el concreto imaginado interior sobre el que va a trabajar. Que muy bien puede acabar siendo la escalera y las sanciones de subir, bajar que reflejen la diferencia, la resta, lo que hay entre los dos valores que nos dan.
De esta forma manipulativa, luego saltar al concreto imaginado interior, si se quiere, con soporte verbal: “Seis, siete, ocho, nueve, diez: cuatro”.
Después, ni siquiera esto. Saltar directamente: “de seis a diez, cuatro”; o “diez menos seis, cuatro”.
Podemos pasar a las restas o diferencias donde el mayor de los números es superior a la decena pero inferior a la veintena.
Sin tabla
Se construyen así los hechos numéricos básicos de la sustracción, que deben adquirirse y automatizarse de forma lúdica mediante juegos y actividades. Como veremos en las próximas charlas.
Con presentaciones y respuesta oral; o gestual para el caso de los sordos.
También, si se quiere, sobre soporte físico o escritura decimal. Pero en principio estamos hablando de prescindir de la escritura.
Automatizar los hechos numéricos básicos de la resta con resultado inferior a la decena.
No quiero oir hablar de “tabla”.
Ni siquiera sé si existe. Tal vez porque a los estetas de la Matemática les repugna de alguna forma “una tabla que no sea completa, compacta”, como ocurre con la suma, y ocurrirá con la multiplicación.
Subiendo
Una vez construidas y automatizadas las “restas elementales”, podemos pasar sin miedo a las diferencias con resultado inferior a la decena entre cantidades de decenas consecutivas o contiguas.
Quiero decir: “trece menos ocho, cinco”; “veintitrés menos dieciocho…”, “treinta y tres menos veintiocho…”, “sesenta y tres menos cincuenta y ocho…”
Sirviéndonos de la misma estrategia de “conteo ascendente”; o “descendente”, más difícil.
No importa tener un soporte en concreto imaginado. Incluso exterior, manipulativo, con dedos: “dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veintidós, veintitrés…: cinco”.
O bien “descendente”, en “conteo descendente”: “veintitrés, veintidós, veintiuno, veinte, diecinueve, dieciocho…: cinco”; “cuarenta y tres menos treinta y ocho…”; “de cincuenta y ocho a sesenta y tres”; “treinta y tres menos veintiocho, cinco”.
Hay que llegar al “cálculo mental automático”, con valores abstractos.
Lo importante repito una y mil veces que en principio haya un apoyo en soportes manipulativos y recurrir a un “concreto imaginado”. Pero al final hay que conseguir la respuesta inmediata abstracta.
Con decenas y jugando
Trabajar también las restas o diferencias con “decenas redondas”:
“Setenta menos treinta, siete decenas menos tres decenas siete menos tres, cuatro. Cuatro decenas cuarenta.”
“De veinte a ochenta, ochenta menos veinte Ocho, menos dos, seis, sesenta.”
Manejar las decenas como unidades, como objetos que se pueden calcular.
Automatización que se debe adquirir mediante juegos y actividades lúdicas, con presentación y respuesta verbal, exclusivamente. O visual gestual -importante para el caso de los sordos-.
Y luego también con juegos que pueden tener un soporte simbólico en escritura decimal.
Estrategias “Por alcance”
Estamos en condiciones de afrontar estrategias complejas, que poco o nada tienen que ver con el algoritmo escrito de la resta.
Y vamos a restar números superiores a la veintena e incluso la centena, es decir, con números de dos o tres cifras en escritura decimal.
En primer lugar estrategias que son una forma de generalización de los conteos o recuentos ascendentes o descendentes. Lo que se puede llamar “estrategias de restas por alcance”.
Son las más utilizadas en la vida ordinaria, en la vida económica, comercial y en nuestra vida personal.
Un caso sencillo: “cuarenta y cinco menos veintiséis”.
Tengo “un mayor” y “un menor”. Puedo partir del menor veintiséis para llegar al mayor, cuarenta y cinco.
Primero alcanzo la decena inmediata: “de veintiséis a treinta cuatro”.
Después, llego a la decena que corresponda en el mayor: “de treinta a cuarenta, diez: catorce”.
Y luego añado lo que tengo en esta decena, que son cinco: “catorce y cinco, diecinueve”.
Ha sido un alcance ascendente por tramos. Pero también lo podía hacer de forma descendente, partiendo del mayor:
“De cuarenta y cinco a la decena inmediata inferior, a cuarenta, cinco. A la decena inmediata superior al número menor: de cuarenta a treinta diez, Quince. A veintiséis, cuatro: diecinueve. Cuarenta y cinco menos veintiséis, diecinueve.”
“Ochenta y uno menos treinta y siete. Treinta y siete a cuarenta, tres; de cuarenta a ochenta, cuarenta: cuarenta y tres; y uno: cuarenta y cuatro.”
O bien:
“A ochenta, uno; a cuarenta, cuarenta: cuarenta y uno; de cuarenta a treinta y siete, three: cuarenta y cuatro”.
¿Y de “noventa y dos a ciento cincuenta y siete”?
“Noventa y dos a cien, ocho; y cincuenta: cincuenta y eight; y siete: sesenta y five”.
Etcétera.
Y puedo incluso animarme a cantidades de cuatro cifras:
“Mil cuatrocientos noventa y two menos mil trescientos ochenta y seven… De mil trescientos ochenta y seven a mil cuatrocientos: de eighty-seven a four hundred: three a ninety, y thirteen de thirteen. De mil cuatrocientos a mil cuatrocientos noventa y two thirteen más noventa y two ciento five.”
O puedo hacerlo mediante saltos:
“Ochenta y uno menos treinta y seven: Treinta y seven y cuarenta, setenta y seven; a ochenta y uno, cuatro: cuarenta and four.
O bien, de forma aditivo-sustractiva, consumas y restas:
“Treinta y seven más fifty, eighty-seven: ¡me he pasado!…: Ochenta y seven a ochenta y one, six: fifty menos six, four, cuarenta and four.”
Es más complicado porque tengo que incluir una diferencia.
Estrategias de “Poner y quitar”
Hay un grupo de estrategias tan útiles como poco utilizadas por desconocimiento. Son las que podríamos llamar de “quitar-quitar” y “poner-poner”, siguiendo la terminología de Alberto Aizpún.
Se basan en el resultado de que “si a los dos términos de una resta se le suma o se le resta una misma cantidad, el resultado no varía”.
En cálculo mental se aplica para la búsqueda de la decena exacta:
“Noventa y uno menos veintiocho. De Veintiocho paso a treinta; y parto de treinta: le he prestado two. De veintiocho a treinta,
De treinta a noventa, sesenta; y one, sixty and one.
“Pero si he subido two en el menor de los números, también debo subir two en el mayor: “sesenta and one más two, sixty-three”.
O bien: “noventa y uno está muy próximo al noventa le quito uno; noventa a treinta, sixty; a veintiocho two” pero si le he quitado one al mayor, también se lo quito al menor: “sixty-two y one, sixty-three,”
Estrategias de “Descomposición”
Y llegamos al grupo de las “estrategias de descomposición”, semejantes a las utilizadas para la suma.
Por ejemplo: “descomposición por órdenes de unidades”, de uno o ambos términos.
Mi preferida, descomposición del menor de los números por órdenes de unidades,.
“Trescientos sesenta y five menos ciento veintitrés: trescientos sesenta y five menos cien, doscientos sesenta y five; menos twenty: sixty and five menos twenty: cuarenta and five. Cuarenta and five menos three: cuarenta and two. Two hundred and forty-two.”
He descompuesto por unidades, en forma descendente -centenas, decenas, unidades- el menor de los términos.
Exige un mayor número de registro de memoria que otras estrategias.
También se puede hacer por unidades en forma ascendente. Y entonces estaríamos en el algoritmo escrito de la resta, prácticamente.
Advertencia, es importante en un cierto momento hacer restas cuyo minuendo o primero de los términos menor que el segundo de los términos. Pero con referencia siempre al concreto imaginado, por ejemplo, la escalera.
Si estoy en el escalón catorce, menos diecinueve, bajo diecinueve escalones, del catorce llego al cero. Pero aún tengo que bajar otros five. Hasta five por debajo del nivel del suelo, hacia el sótano. Podemos llamarle “less five” or como queramos.
O, nuevamente en la vida corriente: si una consumición me cuesta diecinueve euros and en el bolsillo solo llevo catorce, catorce menos diecinueve. Bueno, doy esos catorce and dejo a deber five, catorce menos diecinueve, menos five.
Con enteros
La resta, como todas las operaciones aritméticas no solamente se realizan con números naturales. También otros campos, en todos los campos numéricos.
En el caso concretamente de los enteros hay que distinguir situaciones.
Si ambos son positivos: entonces tenemos una resta ordinaria pero el signo positivo o negativo va a depender el que tenga mayor valor absoluto.
Si el primero es positivo and el segundo negativo se convierte en una suma de positivos. Los valores absolutos.
Si el primero es negativo and el segundo positivo se convierte en una suma de números negativos con resultado negativo, lógicamente.
Y si ambos son negativos se convierte en una resta donde el primero es negativo and el segundo positivo, cuyo resultado será positivo o negativo según el valor absoluto del mayor.
Con decimales and fracciones
algo semejante me va a ocurrir con la resta de números con coma.
Mi recomendación: primero restar las partes enteras and luego las partes decimales; si es necesario pidiendo prestada una unidad a la parte entera resultado.
“Cinco con treinta y five centésimas menos three con setenta y five centésimas.”
Primero hago: “cinco menos three, two”. And luego ya “treinta and five menos setenta and five…”
Tengo un problema. Pido prestado a two, resultado, una unidad and me queda “ciento treinta and five menos setenta and five” Que me va a dar “sesenta”.
Resultado: “one con sesenta centésimas”.
Para la resta de fracciones enteras, análoga recomendación que para la suma.
Es decir: primero multiplicar los denominadores, que será el denominador del resultado; and después el numerador de cada fracción por el denominador de la otra, restando estos productos, que será el numerador del resultado.
Anunciando
Las three próximas charlas o episodios los voy a destinar a la presentación de situaciones, ejercicios, juegos dirigidos a la práctica de sumas and restas, exclusivamente. Como desafíos con uno mismo, que es la forma que tendrán aquí todos los ejercicios and juegos.